Hem » Okategoriserade » Arkimedes väg till pi

Arkimedes väg till pi

Arkimedes är stor inom matematiken, faktiskt en av de största genom tiderna. Han har gjort många stora matematiska upptäckter. Men jag ska berätta om hur han lyckades komma fram till en utav dem, vilket är pi. Arkimedes var dock inte den som från början kom på pi utan han var en av dem som har utvecklat pi mest till det vi har idag. Det är även därför pi också kallas för ”Arkimedes konstant”.

Arkimedes började med att ”stänga in” värdet för pi mellan en övre och en undre gräns. Han gjorde det på det här sättet:

Han stängde alltså in en cirkel mellan 2 regelbundna polygoner (månghörningar) och fick då en övre och en undre gräns (området mellan de båda polygonerna). Han fick också fram en ungefärlig omkrets på cirkeln genom att addera ihop längderna på alla sidor i den inre polygonen. Han dividerade sedan omkretsen med diametern och fick då fram ett förhållande, alltså pi.

Ju fler hörn polygonerna hade desto bättre blev värdet på pi. Arkimedes använde sig utav 96-hörningar och fick då fram ett tal som var i intervallet 3 10/71 (3,1408…) till 3 1/7 (3,1428…). Närmare än så kom han inte eftersom han alltid hade ett avståndet mellan de 2 polygonerna.

Analys

Jag tycker pi är ett användbart tal eftersom vi kan få reda på mycket med hjälp av det. Speciellt när det kommer till geometriska figurer som annars antagligen hade varit svårare att beräkna. Men det förekommer också vid saker som inte har någon koppling till geometri överhuvudtaget  Här är några exempel när vi använder pi:

Geometrisk form Formel
Cirkel Omkretsen av en cirkel med radien r och diametern d O = \pi d = 2 \pi r \,\!
Arean av en cirkel med radien r A = \pi r^2 \,\!
Ellips Arean av en ellips med halvaxlarna a och b A = \pi a b \,\!
Sfär Volymen av en sfär med radien r och diametern d V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!
Arean av en sfär med radien r A = 4 \pi r^2 \,\!
Cylinder Volymen av en cylinder med höjden h och radien r V = \pi r^2 h \,\!
Arean av en cylinder med höjden h och radien r A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!
Kon Volymen av en kon med höjden h och radien r V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!
Arean av en kon med höjden h och radien r A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!

Pi har även hjälp till när det kommer till forskning, t.ex. om rymden och jordklotet.

Pi är även ett speciellt tal eftersom det är irrationellt, kan alltså inte skrivas som ett bråk, och decimalerna i talet har inget slut.

Reflektion

Även om pi bara är ett tal så har det utvecklat sig och blivit mycket mer än så. Det finns folk som lägger ner hela sitt liv på pi. För att t.ex. komma på så många decimaler som möjligt, eller lära sig så många decimaler utantill som möjligt. För nöjes skull så kan jag säg att rekordet ligger just nu på  2 576 980 377 524 decimaler och är taget av en japansk superdator. När de gäller det här med att memorera så många decimaler som möjligt så är det en 60 år gammal japan som lyckades rabbla upp det 100 000 första decimalerna. Men tillbaka till det mer seriösa. Jag tycker att det har blivit mer som en sport. Och det förstår jag mig inte riktigt på, när vi med ”bara” 50 decimaler kan räkna ut det synliga universums omkrets med en noggrannhet av en atomkärnas storlek så behöver vi inte ens i närheten så många decimaler.

Annonser

1 kommentar

  1. Petnor skriver:

    Att det finns ett konstant förhållande mellan omkrets och diameter visste även kulturer innan Arkimedes. Men det Arkimedes förstod var att detta förhållande inte är möjligt att beskriva exakt med hjälp av bråk. Vad som däremot är möjligt är att definiera detta tal inom ett intervall som går att göra extremt snävt.
    Det finns ingen logik i ordningen på pi:s decimaler. Det kan förefalla vara slumpartat och oändlig därmed ska alla möjliga siffersekvenser vara möjliga att hitta någonstans i denna serie av siffror. Det finns tex en web-plats där man kan få hjälp i att hitta sitt eget person nr i pi-sekvensen.
    En detalj till med pi är att den är en del av Eulers mest kända formel.

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: