Hem » Okategoriserade » Pi ett ämne som inte slutar

Pi ett ämne som inte slutar

Pi

Pi heter det kända talet som har fascinerat mänskligheten i århundraden. Den är även kallad arkimedes konstant efter Arkimedes som räknade ut pi 250 f.kr.

Pi är talet som representerar förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter.

Det avrundas till detta tal med 15 decimaler 3,141 592 653 589 793.

Men för bara vardagligt bruk brukar man avrunda det till 3,14.

Det är ett irrationellt tal vilket kort fattat betyder att det är ett tal som aldrig slutar. Det bevisades av johann heinrich lambert 1761.

De absolut vanligaste formlerna där pi förekommer är:

Omkretsen och arean av en cirkelel.

O= pi*d=2pi*r

A=pi*r2

Volymen och arean av en sfär.

V=4/3*pi*r3

A=4pi*r2

Volymen och arean av en cylinder.

V=pi*r2*h

A=2(pi*r2)+(2pi*r)h=2pi*r(r+h)

Volymen och arean av en kon.

V=1/3*pi*r2*h

Jakten på pi

Runt 1600 talet började mattematiker att räkna på vilket exakt tal pi var. En av dem första var François Viètes. Som 1593 använde formeln:

\frac2\pi=<br />
\frac{\sqrt2}2<br />
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2<br />
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots,

Sedan följde en rad olika mattematiker och deras formler för att ta reda på talet. Två stycken relativt kända var:

Gottfried Leibniz’ formel

\frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots,

och John Wallis’ produkt

\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots.

1706 lyckades John machin räkna ut 100 decimaler av pi med hjälp av denna fomel.

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239},

Efter detta bevisade Johann lambert att pi var ett irrationellt tal, jakten på pi övergick från att få fram ett exakt tal till att räkna ut så många decimaler som möjligt.

Och på 1900 talet använde man datorer tillverkade endast för att räkna och lyckades få fram biljoner av decimaler. Dem flesta använde använde olika variationer av Machins formel.

 \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}

och

 \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}

Rekordet ligger idag på 1 241 100 000 000 stycken decimaler men jakten på pi är ännu inte över.

Annonser

1 kommentar

  1. Petnor skriver:

    Detta är avancerad matematik som Ni ev möter på universitetet. Tanken är att hitta en så enkel formel som möjligt med så få termer som möjligt för att approximera pi. Att Machin lyckas med bara två termer skapa ett närmevärde med en precision på 100 decimaler i början på 1700-talet är väl en bedrift.
    Se även: http://en.wikipedia.org/wiki/John_Machin

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: