Start here

Pi ett ämne som inte slutar

Pi

Pi heter det kända talet som har fascinerat mänskligheten i århundraden. Den är även kallad arkimedes konstant efter Arkimedes som räknade ut pi 250 f.kr.

Pi är talet som representerar förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter.

Det avrundas till detta tal med 15 decimaler 3,141 592 653 589 793.

Men för bara vardagligt bruk brukar man avrunda det till 3,14.

Det är ett irrationellt tal vilket kort fattat betyder att det är ett tal som aldrig slutar. Det bevisades av johann heinrich lambert 1761.

De absolut vanligaste formlerna där pi förekommer är:

Omkretsen och arean av en cirkelel.

O= pi*d=2pi*r

A=pi*r2

Volymen och arean av en sfär.

V=4/3*pi*r3

A=4pi*r2

Volymen och arean av en cylinder.

V=pi*r2*h

A=2(pi*r2)+(2pi*r)h=2pi*r(r+h)

Volymen och arean av en kon.

V=1/3*pi*r2*h

Jakten på pi

Runt 1600 talet började mattematiker att räkna på vilket exakt tal pi var. En av dem första var François Viètes. Som 1593 använde formeln:

\frac2\pi=<br />
\frac{\sqrt2}2<br />
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2<br />
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots,

Sedan följde en rad olika mattematiker och deras formler för att ta reda på talet. Två stycken relativt kända var:

Gottfried Leibniz’ formel

\frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots,

och John Wallis’ produkt

\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots.

1706 lyckades John machin räkna ut 100 decimaler av pi med hjälp av denna fomel.

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239},

Efter detta bevisade Johann lambert att pi var ett irrationellt tal, jakten på pi övergick från att få fram ett exakt tal till att räkna ut så många decimaler som möjligt.

Och på 1900 talet använde man datorer tillverkade endast för att räkna och lyckades få fram biljoner av decimaler. Dem flesta använde använde olika variationer av Machins formel.

 \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}

och

 \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}

Rekordet ligger idag på 1 241 100 000 000 stycken decimaler men jakten på pi är ännu inte över.

Annonser

Fibonaccital och dess förekomst

Fibonaccital är en talföljd som är upp kallad efter den italienaren Leonardo Fibonacci. I denna talföljd så är varje tal summan av de två tal som kommer innan i sekvensen. De två första talen i sekvensen är o och 1. För att få fram nästa tal så adderar man bara 0 och 1 och får 1 igen. Sedan blir det 1 adderat med 1 vilket blir 2. Sen när man adderar 1 och 2 då får man 3 och sen fortsätter det så, 2+3=5, 3+5=8 och vidare i all oändlighet.

Fibonacci var inte den första som beskrev denna talföljd, den första som gjorde det var den indiska matematikern Pingala 500 år före Kristus.

File:FibonacciBlocks.svg

När Leonardo Fibonacci upptäckte denna tal följd så studerade han hur kaniner förökar sig efter följande regler:

  • Det finns endast ett par nyfödda kaniner den första månaden.
  • Nyfödda kaniner blir könsmogna från månad två och framåt.
  • Det uppstår inga genetiska problem på grund av inavel.
  • Varje månad föds en unge per könsmogen kanin.
  • Ingen av kaninerna dör.

Men det är inte bara när dessa regler gäller som denna talföljd finns i naturen utan man kan även se den i diverse spiraler. Så som snäckor och fröna i en solros. Saker som följer fibonaccitalen uppfattas väldigt ofta som vackra eftersom om man tar två följande på varandra och dividerar dem med varandra så får man ett tal som är väldigt nära det gyllene snittet (ca. 1,618). Ju högre tal man ta, desto närmare blir värdet det gyllene snittet.

Den svenska flaggan är ett exempel på gyllene snittet då den har proportionerna att kortsidan är 1 och långsidan är 1,618. Ytligare exempel på det gyllene snittet  är Mona-Lisa, troligtvis världs mest omtalade konstverk. Många säger att det är därför den är så vacker. Fibonaccitalen har länge används inom arkitekturens och konstens värld. Man tror att de gamla Egyptierna använde sig av det gyllene snittet när de gjorde de största pyramiderna och att grekerna också använde det till många byggnader.

Abakus, så här räknade romarna.

En Abakus är ett räkneredskap som användes i antiken, romarna använde det för att räkna med sitt talsystem. Nuförtiden är den gjord av en träram där man har stavar i, på stavarna sitter kulor som representerar vissa tal. När man räknar med en Abakus lägger så att stavarna är vertikala och sedan räknar man från höger till vänster. Första raden från höger är ental, andra är tiotal, tredje är hundratal och fjärde är tusental osv. Om man t.ex. ska skriva talet 102 på en Abakus, har man en kula som visar 100 på tredje raden och 2 kulor på första raden.

Så här räknar man addition:

  • Vi tar addition med två tal, 21+3.
  • Först tar man två kulor på andra raden för att få 20.
  • Sedan 1 kula på första raden för att få sammanlagt 21.
  • Man lägger sedan till 3 kulor på första raden och då kan man räkna ihop alla kulor och då får man 24

Adderar vi 12 och 9 så tar vi först 1 kula på andra raden och 2 kulor på första raden.

  • Sedan lägger man till 9 kulor på första raden men vänta, detta fungerar ju inte!
  • Nej, då lägger man först till 8 och får då totalt 20, vilket gör att man har två kulor på andra raden.
  • Man har då 1 kula kvar som man lägger på den första raden, talet blir då 21.

Tänk er när man ställer upp addition:
sTÄLLA UPP
Sättet att lägga till en siffra på nästa ”rad” är likadant som när man räknar med en Abakus.

Ska man räkna med subtraktion gör man på liknande sätt men istället för att lägga till, tar man bort.

Detta är ungefär hur romarna räknade med sin version av Abakus, visst, man använde inte samma siffror som vi men det är likadant som vårat sätt.

Abakus

Detta är en bild på ungefär hur det såg ut när romarna la upp sina ”kulor” på Abakusen.
M = 1000
D = 500
C = 100
L = 50
X = 10
V = 5
I = 1

Detta var ett effektivt, enkelt och hyfsat snabbt sätt att räkna och på romartiden där inte alla kunde matematik var detta i princip det enda sättet för de att förstå vissa matematiska uträkningar.
En Abakus har dock begränsningar och man kan inte räkna ut allting som man kan göra idag. Man kan t.ex. inte räkna ut något med ett stort antal decimaler eftersom uträkningen är begränsad på hur stor Abakusen är.
Man kan i principen räkna ut med några decimaler, bara man har stavar som representerar decimaltal och inte ental (Vilket man egentligen bara kan göra själv genom att bestämma vilken stav som representerar vilket).
Dock vid svårare matematiska uträkningar blir det inte lika lätt.
Dessa används i nutiden i t.ex. Japan och Kina, där de lär små barn att räkna med sådana här och när de börjar få kläm om att räkna ut flera additioner och subtraktioner i rad, lär de sig att räkna med Abakusen (den japanska versionen heter Soroban och den kinesiska versionen heter Suan Puan) i huvudräkning, vilket gör det ganska effektivt utan att behöva ha den fysiskt i närheten.

Jag tycker att en Abakus är ett bra räkneredskap och som man använder den i Japan och Kina tycker jag är ett bra sätt att börja lära sig räkna addition och subtraktion, att sedan också kunna använda detta effektivt i huvudräkning.
Detta är dock det enda jag tycker är bra med en Abakus, i nutiden så räcker det inte till att använda addition och subtraktion, genom tiderna har mer och mer avancerad matematik uppstått och en Abakus är inte ett räkneredskap som kan användas för t.ex. multiplikation, division, potensräkning, ekvationer med mera.

Jag har nyss fått reda på hur man kan räkna multiplikation och roten ur på Abakusen, detta är dock svårt att förstå och jag låter er andra att titta på det och försöka förstå det om ni vill.
(Dessa två klipp visar hur man räknar multiplikation och roten ur på en Soroban, en japansk version av en Abakus, men detta är dock också möjligt att räkna på en Abakus).

Källor:

http://www.ne.se/lang/abakus/106965
http://sv.wikipedia.org/wiki/Abakus

Fermats Teorem

Fermats teorem, även kallad Fermats sista sats, är ett av det största matematiska problemet genom tiderna, och formulerades av den franske juristen och matematikern  Pierre  de Fermat år 1637. Problemet var en anteckning Fermat hade skrivit ned i marginalen i Diofantos Arithmetica, en bok som Fermat studerade.  Han inspirerades också av Francois Viètes symboliska algebra och Arkimedes analytiska metoder, och Fermat var helt och hållet självlärd inom matematiken. Satsen säger att x^n+y^n inte kan bli z^n för n>2, där n är ett heltal. Fermat påstod att han hade ett bevis för detta, men skrev även att ”marginalen är alltför trång för att fly det”. Av alla Fermats anteckningar innehåller ingen det bevis som han påstod sig ha, och de flesta förmodar att Fermat antingen tagit miste, eller spelade ett grymt spratt. Till en början sågs problemet som lättlöst, men matematiker förbluffades av hur svårt det egentligen var. I över 350 år försökte matematiker världen över att finna beviset för satsen, och man var tvungen att skapa och använda sig av nya metematiska metoder, vilket betyder att Fermats teorem hjälpte utvecklingen av matematiken och frmaflyttandet av dess gränser.Det var inte förens 1995 som den engelska matematiker Andrew Wiles, som efter 7 års intensivt och nästintill hemligt arbete tillkännagav att han lyckats. Det visade sig dock att Wiles bevis innehöll ett fel, men något år senare var det korrigerat och man kunde nu med all säkerhet säga att Wiles bevisat Fermats teorem.

Det bevis som Wiles fick fram kan dock inte varit det som Fermat från början tänkt sig, då Wiles väldigt omfattade bevis innehöll matematik som under Fermats tid inte var känd. Även från denna synpunkt var ändå beviset ifråga riktigt, och Wiles tilldelades den belöning som den Franska Vetenskapsakademien utfäste 1823 för problemets lösning.

Wiles var under all denna tid professor vid Princeton University, och var intresserad av elliptiska kurvor. En känd sats inom elliptiska kurvor är Taniyama-Shimuras sats, vilket innebär att varje elliptisk kurva har en motsvarande modulär form. Satsen förblev länge obevisad, men bevisades för elliptiska kurvor med vissa egenskaper av just Andrew Wiles. Wiles insåg, (något som jag inte förstår) sambandet mellan dessa elliptiska kurvor och Fermats sats, och detta tillsammans med tidigare resultat ledde till att Wiles slutligen kunde bevisa Fermats teorem.

Köningsbergs sju broar

Köningsbergs sju broar är, vad man kan kalla ett klassiskt matteproblem. En schweizisk matematiker vid namn Leonhardt Euler visade detta problem i en artikel år 1736, I artikeln beskrev han även att problemet var olösligt. Med detta problem lade han även grunden för den så kallade ”topografin”

 Image

En bild på staden och broarna

Själva problemet lyder såhär: försök finna en promenadväg som passerar varje bro exakt en gång, varken mer eller mindre.

Och nu är det så att man skulle kunna kringgå detta, tex: om man använder en båt, Simmar eller rent av bygger en ny bro, men detta är förståligt nog förbjudet.

om man använder en förenklad bild av problemet så kan man lättare sätta sig in i problemet

 Image 

Bilden till vänster visar det olösliga problemet, hur du än gör kommer det alltid finnas en bro eller fler broar som inte korsas. Om man dock kollar på bilden till höger så ser man att problemet skulle kunna lösas ganska snabbt om det var en bro mindre.

Topografin är som sagt en matematisk metod som växte fram med detta problem. Topografi är egentligen en form av geometri där man bortser från mått och bara tittar på formen.

 Image

Detta är Eulers topografisk lösningsgraf över problemet. Dom blå prickarna är öar/fastlandet medans linjerna är dom olika broarna.

Här kan man lättare se att det är omöjligt att bara passera varje bro en gång. Euler satte upp regler runt detta, dessa lyder:

  1. Om ingen punkt har ett udda antal förbindelser så går det att hitta en promenad som passerar varje bro exakt en gång oavsett vilken punkt som är startpunkt.
  2. Om det finns exakt två punkter med ett udda antal förbindelser så finns det en lösning där promenaden börjar i någon av dessa punkter och slutar i den andra.

Arkimedes konstant

Arkimedes konstant, även känd som π, eller pi har funnits länge, redan innan den store Arkimedes. Vad pi är, är hur många cirkeldiametrar som får plats i en cirkels omkrets, och används för att räkna ut allt möjligt, ett enklare användningsområde är då att räkna ut diametern på en cirkel när man har omkretsen. π är ett irrationellt tal, vilket betyder att det inte kan beskrivas genom bråk, att talet innehåller oändligt många siffror, ett annat exempel på irrationella tal är e, som även är känd som Eulers konstant.
tjabba
π har ofta uppskattats till ett bråk, en av de tidigaste uppskattningarna, närmare bestämt babylonierna uppskattade det runt 2000 år f.Kr. till 25/8 som då blir 3,125, som har första decimalen rätt I varje fall. Nästa kända metod kom från egyptierna, som uppskattade π till 256/81 som då blir ca 3,16. Det krävdes nog inte mycket mer än en siffra på två decimaler, då jag antar att de sakerna som mättes inte krävde  Efter mer än 1700 år kom den store Arkimedes också med en metod, nämligen att π skulle finnas mellan talen 223/71 och 22/7, som i decimalform är ungefär mellan 3,1408 och 3,1428 då de två första decimalerna av talen var rätt. Helt riktigt stämde hans teori om var någonstans π låg på tallinjen. Sedan Arkimedes har det tillkommit många sätt att räkna ut π, ett exempel är Gottfried Leibniz formel, då han man tar 4 st π är lika med ett dividerat med varje udda tal, och mellan varje division är det varannan + och varannan -, då det börjar med -.

Gottfried Leibniz formel för att beräkna π.
tillfällig

Den senare metoden kom man fram till i slutet av 1600-talet.

Men det finns en till formel, som använts av Tokyos universitet för att beräkna över en biljon decimaler av π, denna formel togs då fram med hjälp av trigonometri.

Arkimedes konstant används idag för att räkna ut allt möjligt, det finns enklare formler, till exempel ur man räknar ut en cirkels omkrets (π* diametern) eller varför inte ett klots volym? Med hjälp av mer komplicerade formler kan man också räkna ut avståndet mellan, eller till och med att hitta nya planeter. Människan har använt π i tusentals år, och jag är helt säker på att man kan använda π på så otroligt många fler sätt än man någonsin hade kunnat ana. Babylonierna kanske använde sin variant för at räkna ut tjockleken eller omkretsen på ett vackert träd, medan det finns så otroligt många olika användningsområden för konstanten idag.

Pi finns överallt, i rymden kretsar det mesta i cirklar, och även här på jorden bygger mycket på cirklar, då många föremål är rundade eller runda. Detta betyder också att pi finns överallt, som i sin tur etyder att man kan ta reda på i princip vad som helst med pi.  Som man kan förstå finns det lika många användningsområden av Arkimedes konstant, som π har antal decimaler!

Källor: bbc.co.uk, sv.wikipedia.org, mathworld.wolfram.com

Bild 1: dancohen.org

Bild 2: sv.wikipedia.org

Kryptering, hemligheternas skydd

Vad är kryptering?

Kryptologi är ett sätt för människor att dölja sina medelanden. Man gör detta genom att ersätta texten i sitt medelanden med andra symboler än vad det är meningen att vara t.ex. man byter ut ett a mot en siffra eller en annan bokstav. Det görs inte helt slumpmässigt för om det skulle göras slumpmässigt så skulle ingen kunna dikryptera medelandet. Det ligger matematik bakom krypteringar. För att kunna lösa olika krypteringar så krävs en viss aritmetik. Denna aritmetik kallas i det här fallet för nyckeln. Alla olika sorters krypteringar har olika sorters nycklar. Nycklar för olika krypteringar kan ha alla möjliga svårigheter det kan vara alltifrån att alfabetet ersätts med siffror, t ex a = 1, b=2, c=3 osv, till komplicerade modulär aritmetik.

Kryptering användning genom tiderna?

Kryptering har används i mer än 2000 år, med andra ord har det funnits ganska länge. En av den tidigaste sortens kryptering var Caesarkryptot. Som man ser på namnet så är den uppkallad efter den välkände kejsaren Julius Caesar. Han använde Caesarkryptot när han skickade medelanden till sina vänner t ex Cicero. Under Julius Caesars tid ansågs Caesarkryptot vara svårt att forcera men i dag kan det göras på bara några få minuter. Ceasarkryptot använder sig av en enkel substitution. Nyckeln för Caesarkryptot är att man ersätter den bokstav det egentligen ska stå med en bokstav som kommer lite senare i alfabetet så en nyckel skulle kunna se ut så här:

Rätt bokstav A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V
kryptering D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y

Kryptering av olika medelanden har gjorts flera gånger genom historian. Ibland forceras krypteringarna. Ett väl känt exempel när krypteringar har blivit dekrypterade var under andra världskriget. Under andra världskriget användes kryptering väldigt mycket. Tyskarna använde en sorts maskin som krypterade meddelanden, maskinen hette Enigma. Innan andra världskriget så arbetade en grupp polska matematiker (den personen som ledde den polska gruppen hette Marian Rejewski) med att dekryptera den kryptering som maskinen Enigma utförde. Strax efter krigets utbrott så överlämnade de polska matematikerna sina resultat till Bletchley Park, en brittisk dekryteringscentral. Där fortsatte några britter med polackernas arbete, en av britterna var mannen Alan Turing. När britterna äntligen hade lyckats dekrypterade tyskarnas Enigma så kunde de allierade läsa medelanden som skickades mellan tyska militärer. Tack vare detta förkortades kriget med ca 2 år.

Reflektion

Kryptering har funnits i över 2000 år och det kommer antagligen att fortsätta att användas. Anledningen till det är för att det skapar en möjlighet för folk att meddela andra om saker som ingen annan ska veta, alltså skapar kryptering ett ”hemlighets skydd”. En till anledning är att det hjälper till i krig genom att man kan skicka information till varandra utan att någon annan skulle förstå vad de pratar om. Det skulle alltså inte göra något om man blev avlyssnad. För att kunna förstå vad de pratar om så skulle man behöva krypteringens nyckel eller så får man försöka dekryptera den och det är inte alltid det lättaste utan det kan kräva enormt lång tid.

De olika sorterna kryptering blir mer och mer komplicerade t ex för två tusen år sedan så var det väldigt svårt att dekryptera Caesarkryptot men i dag skulle det bara ta några minuter. Krypterings- metoder utvecklas hela tiden. Detta är också en anledning till att jag tror att kryptering kommer fortsätta att användas under lång tid framöver. Så länge som det finns sätt att dölja medelande så att bara vissa vet vad de betyder så kommer folk att vilja ha möjligheten att använda kryptering. Det finns alltid något som inte allmänheten ska veta. Även fast det inte alltid är för det bästa.

 

Källor:

http://www.ne.se/lang/kryptologi

http://naslundx.net/utdrag_kryptologi.pdf