Start here

Arabiska siffror

Fördelen med de arabiska siffrorna är det att de har en symbol för varje tal upp till 9 samt att de arabiska siffrorna har en symbol vilket de romerska inte har. Även om det är svårt att tänka sig att noll skulle var just ett tal var svårt för de som levde på den tiden. Det var dock väldigt mycket enklare att räkna med siffran 0. Med de arabiska siffrorna kombinerar siffrorna för att skapa tal. Medans de romerska måste man hela tiden addera då varje symbol har ett fast värde. Sedan om man kombinerar dessa siffror kan man enkelt skriva väldigt stora tal utan att det tar så lång tid. Tex. 999 med arabiska siffror skulle skrivas CMXCIX, vilket är mycket krångligare än att bara skriva 999. CMXCIX skulle man kunna tolka som (CM=900)+(XC=90)+(IX=9)=999 mycket krångligare.

kul romersk bildroman_numerals

  • Sedan är det också så att siffrans värda ändras beroende av vart den är placerad i ett tal tex. 456 där fyran har värdet 400,
  • feman har värdet 50
  • sexan värdet 6.
  • 400+50+6=456

för oss är det självklart, men det skulle också väl betyda att talet skulle kunna vara värt 15 4+5+6=15.

I de romerska siffrorna var positioneringen fortfarande viktig men inte på samma sätt varje symbol hade fortfarande samma värde oavsett vart den var placerad. Det ända som påverkade värdet var symbolen innan. tex IX borde utläsas som 1+10=11 då I är värt 1 och X är värt 10 men I påverkar X så det är helt enkelt 10-1=9

De arabiska siffrorna härstammar från indien.

På bilden nedan kan man se hur de ursprungligen såg ut innan de spreds till Europa och fick utseendet som vi känner till idag. arabiska siffror

 

Annonser

Utveckling av talsystem

Ett talsystem är en följd av olika symboler eller tecken som används för att kunna beteckna ett tal och det är i första hand positiva heltal.

Men hur kom man egentligen på det talsystemet som vi har idag, jo det har ju såklart utvecklats ifrån flera olika håll men grunden för vårt talsystem kommer fortfarande ifrån något som heter det Unära talsystemet. Det bygger på att om man har till exempel tre stenar så motsvara det tre symboler som i ett enkelt fall skulle vara III alltså tre sträck. Det här höll bara i små summor som när man räknar med sina fingrar, men eftersom att det tog lång tid att skriva upp flera sträck eller komma ihåg antal fingrar i huvudet så blev det struligt efter ett tag, men när man räknade på det här sättet så hade man fortfarande inte riktigt förstått hur stort ett tal verkligen kunde bli så det här Unära talsystemet räckte. Men senare kulturer som till exempel Egyptierna kom på att man kunde bestämma nya tal som var mycket större fast talbyggnaden var fortfarande väldigt simpel eftersom om man säger att (#) motsvarar talet hundra och (@) är talet tio och man vill skriva talet 246 så skulle man skriva ##@@@@IIIIII och det gjorde så att man kunde hantera större siffror bättre men det kan fortfarande jobbigt i vissa fall ändå och  många kulturer använde sig av det här systemet men på lång sikt så kan man inte hantera för stora tal, man kunde ju hitta på större siffror men man måste också kunna räkna enkelt mellan dessa siffror så att man kan uppnå dem. Det här insåg man senare och i Asien hade man kommit på att göra ett tecken för varje siffra från 1-9 istället för att skriva dem som sträck eller andra former. Dessa nya siffror kunde man skriva i en följd för att kunna visa ett visst tal som då kunde bli så otroligt mycket större än med tidigare räknesystem genom att bara skriva siffrorna i en bestämd ordning. Detta kallas för ett positionssystem och är grunden för de mer komplexa tal systemen. Nu kunde man komma på flera nya räknesätt bara genom att positionera siffrorna på ett speciellt sätt som tio potenser eller division kunde nu räknas ut lättare. Ett sånt här talsystem blev väldigt användbart för att komma på nya sätt att hantera större uträkningar och det kunde lätt expanderas med nya poisitioneringsmetoder.

Eftersom att talsystemen har utvecklats så mycket som det har så har man fått ett mycket större grepp kring matematik än vad man hade för så länge sedan, tack vare till exempel grekiska filosofer så har man kunnat komma på matematiska formler till rätblock och cirklar och alla möjliga olika former på föremål. Men vad är det som stoppar oss? i framtiden kommer antagligen talsystemen vara så exakta och välformulerade att vi aldrig skulle kunna tänka oss det nu. Vårt talsystem kommer antagligen se primitivt ut om man skulle i framtiden jämföra deras med vårt talsystem.

Fraktal- En struktur som aldrig tar slut.

Fraktal- En struktur som aldrig tar slut.

 

Fraktal-Är en struktur som aldrig tar slut den fortsätter i evigheter men blir bara mindre och mindre. Du kan inte mäta fraktal eftersom att det aldrig tar slut och längderna blir bara mindre och mindre.

Första gången fraktal blev nämn eller rättare sagt upptäckt var år 1904 och det var beskriven utav flera matematiker en  Georg Cantor, Giuseppe Peano och den svenska matematikern Helge von koch. Koch beskrev fraktal med hjälp av Koch-Snöflinga och Koch-kurva.

Själva ordet Fraktal betyder bruten alltså går inte att räkna. Som tex koch-snö flinga. 

Men vi kan gissa att allt som finns i världen är faktiskt uppbyggt med fraktal som tex vi är uppbyggda av atomer men vad är atomer uppbyggda jo protoner och elektroner men efter det så vet vi inte det kan lika gärna fortsätta i evigheter och det är alltså oräknebart. 

Om vi tar ett exempel hur man bygger upp en sådan här struktur så kan man använda sig utav IFS och nu gör vi en ormbunks fraktal. 

IFS A B C D E F
1 0,0 0,35 0,0 0,0 0,0 0,7
2 0,2 0,23 0,26 0,22 0,0 1,3
3 -0,15 0,26 -0,28 0,24 0,0 0,44
4 0,85 -0,04 -0,04 0,85 0,0 1,6

 

 \ {x_{n+1} = a x_n - c y_n   + e}

 \ {y_{n+1} = b x_n + d y_n   + f}

Då använder vi oss av detta för att skapa en oändlig ormbunke som har en oändlig längd.

Det första vi skapar är då själva stammen i ormbunken det är bokstäverna a, c och e. ACE är alla lika med 0 eftersom att stammen har bara längd/höjd och ingen bredd och det gör också att x=0 det gör att figuren har bara 1 dimension men det här är bara gällande dator. Anledningen till att den syns är endast den att datorgrafik är digital, skärmens punkter har en minsta möjlig utbredning (det går inte att visa mindre än en pixel). De andra fortsättningarna de kopierar den sig alltså det ända den här ormbunken består av är små bladstammar alltså hela ormbunken.

Som ni alla vet består en riktig ormbunkar består av tredimsionella celler av flera olika typer.

Fraktalers Dimension: Fraktaler har ofta en dimension som inte är ett heltal.Som det menar att du inte kan mäta fraktaler med hjälp av vanlig längd,area, volymmått. Men man kan däremot använda sig utav tex in4/3. Om bi nu tex använder oss utav ett rutnät för att mäta ut storleken på det och så är antalen rutor=N(δ) och om N(δ)= 0 då blir mängdens mått i dimension d=gränsvärdet alltså N(δ)δd.  Fraktal har begränsat mått större än noll om och endast om d är lådräkningsdimensionen. En annan sak vi inte kan mäta är Hausdorffmåttet och Hausdorffdimensionen är ungefär samma sak som lådräkningsdimensionen. Så som avslutning är fraktal ett tal som nästan aldrig är heltal och inte kan mätas vanligt och fortsätter i oändlighet o när de skappas skapas de i 3D eller 2D med hjälp av matematiska transformationer som upprepas oändligt många gånger eller det ireteras att stort antal gånger sen blir det förlitet.Lite mer bilder!

Redwood Trädet

Redwood är ett träd som växer i vissa delar av U.S.A. De kan bli väldigt höga, så hur skulle man mäta dem? De har alldeles för hård stam för att klättra i och man vill inte hugga ner dem. Att kasta och fästa något i toppen går inte heller, de är för höga.

Ett sätt att lösa problemet var att man:

Stegade en valfri läng från trädet, vi säger 50 m för enkelhetens skull. Helst på så platt mark som möjligt. Sedan använde de en teodolit. En teodolit är ett instrument som mäter vinklar. De ställde ner teodoliten 50 m från trädet och riktade kikarn rakt mot trädets topp och mätte vinkeln till marken. Vi säger att den var 45 grader. De visste också att vinkeln från marken till trädet var 90 grader vilket också ger att den toppvinkeln också var 45 grader. Nu kunde de med hjälp av sinus och cosinus räkna ut hur högt trädet var. Dock hade de ju inte smarta miniräknare som vi har idag på den tiden. Istället hade de tabeller som de räknade på, så de räknade bara med sinus för att bara behöva använda en tabell. Se beräkningar på bilden.Image

Fermats stora sats

Fermats stora sats

 Image

Xn>2+Yn>2 Zn>2

Året var 1637 och en man kallad Fermat skrev ”Jag har ett i sanning underbart bevis för detta påstående, men marginalen är alltför trång för att rymma detsamma”. Detta skrev han i marginalen av en bok kallad Arithmetica.
Fermats stora sats gjordes av den franske juristen och matematikern Pierre de Fermat, år 1637. Problemet var en anteckning Fermat hade skrivit ned i marginalen i Diofantos Arithmetica, en bok som Fermat studerade. Tyvärr har detta underbara ”bevis” inte hittats någonstans i Fermats anteckningar, och man trodde att Fermat hade tagit miste, eller att han ville spela ett spratt.

I över 350 år försökte många matematiker världen över att bevisa denna sats. Personer med mycket pengar och de som delade intresse inom detta ämne började erbjuda belöningar till den som kunde bevisa detta. Det gick så lång att Paul Wolfskehl år 1908 erbjöd en belöning på 100 000 tyska mark.

Till en början sågs problemet att vara enkelt att lösa. Men matematiker blev förvånade av hur svårt det faktiskt var. I över 350 år försökte matematiker över hela världen att bevisa satsen. Matematiker var tvungen att skapa nya metematiska metoder för att lösa problemet, vilket betyder att Fermats stora sats hjälpte utvecklingen av matematiken.
I lite mer 350 år så förblev detta problem olöst, men sedan var det någon som trodde sig ha svaret.

År 1993, trodde Andrew Wiles att han hade löst problemet. Tyvärr så var hans matematik inkorrekt och ”beviset” förklarades felaktig och otillräckligt. Andrew gav inte upp utan dedicerade två år till på att lösa detta problem. 1995 löste han problemet, dock så var matematiken som Andrew använde sig av var inte känd på Fermats tid. Detta förstärkte misstankarna mot Fermat, att han inte hade bevisat satsen. Han hade sammanlagt dedicerat 6 år på att lösa Fermats sista sats.

I den andra säsongen av Star Trek så nämns Fermats sista sats, men den då var den fortfarande olöst. Avsnittet spelades in 1989 och heter ”The Royal”.

Av alla matematik problem och alla händelser inom matematiken så kan Fermats stora sats, lätt glömmas bort. Men utan den passion som vissa matematiker hade för detta problem, så skulle inte vår matematik inom algebran vara lika utvecklad. Det stora problemet ”Fermats stora sats”, skulle inte blivit löst av ”Fermats stora spratt”. 

Födelsen av siffran 0

Siffran noll

Siffran noll har använts på många sätt under historiens gång även om den inte har varit använd i just matematik.  Siffran noll ska ha börjat användas i Mesopotamien. Där användes siffran noll i skrifter och dylikt på samma sätt som vi använder ”mellanslag”. Symbolen för noll i Mesopotamien var två sneda kilar.

Nollor användes alltså inte av mesopotamiska matematiker, dock användes nollan i trigonometriska tabeller för astronomiskt bruk.

Majacivilisationen (numera Guatemala, södra Mexiko och norra Honduras) var de nästa som använde nollan. De använde andra symboler för noll. Mayaindianernas talsystem var dock annorlunda på det sättet att det hade oregelbundenheter då mayaindianerna ville följa solåret.

Man tror att nästa kända innovation för siffran noll var i Indien. Det var där noll skrevs som en punkt eller liten cirkel för första gången. Den äldsta inskriptionen med det tecknet är daterad så tidigt som 683 e.Kr. Det är från Indien som västvärlden har fått tecknet vi kallar noll. ”Våran” nolla uppfanns av den Indiske matematikern och astronomen Bahmagupta.

I början av den moderna nollans tid uppfattades inte helt som den gör idag. På den tiden användes den som s.k. platshållare, dvs. den visade hur många av varje sorts tal det fanns i ett tal (ental, tiotal, hundratal, tusental, etc. etc.). T.ex. I talet 1052 visar nollan att det finns noll hundratal. Det medför att man inte tänkte noll som mitten på en axel (med positiva och negativa tal på respektive sida), därför kunde man inte räkna ut tal som innehöll negativa faktorer. T.ex.  2 – 5=(-3)

Jag tycker att siffran noll är en av de bästa uppfinningarna inom matematiken då det har öppnat en helt ny värld med negativa tal.  Siffran noll har indirekt även öppnat dörren för att kunna lösa matematiska problem som inte var möjliga innan noll fanns. På ett sätt är det lite kul att tänka på att noll, som är ingenting, kan betyda så mycket. Det får mig att tänka på vad som kommer hända i framtiden ang. saker som ingen matematiker som någonsin levt kan/någonsin kommer kunna behärska.

Folk hade i början svårt att hantera nollan sägs det. Min teori är det var pga. det stora ansvaret som nollan innebar som gjorde att folket var så emot den. Eftersom man upptäckte en helt ny värld när man upptäckte nollan var man ju tvungen att nyttja allt nytt som nollan tog med sig. Utan nollan hade vi inte bara varit långt ifrån var vi är idag matematiskt utan även på öändligt många områden också eftersom matematiken har en så pass stor inverkan på samhället.

Trigonometri

Människan har sedan urminnes tider varit intresserad av olika sorters byggverk. Redan i forntida Egypten och Babylonien fanns detta intresse. Ordet Trigonometri härstammar från grekiskans ”trigonon” (tre vinklar) och ”metron” (mått). Vid bland annat byggen av pyramider kunde den så kallade ”trigonometrin” användas som förklarar förhållandet mellan vinklar och sidor i trianglar. Denna lära har utvecklats och även kommit till användning vid astronomi för att bland annat bestämma längden till stjärnor och annat som är fysiskt omöjligt att mäta. Vanligtvis används denna lära vid rätvinkliga trianglar då man genom att veta en vinkel (ej den rätvinkliga) och längden på en katet eller hypotenusan kunna få fram det mått/den vinkel man söker.

Hur används trigonometri?
Då man vid olika problem vill bestämma en vinkel eller längd används tre olika formler som bestämmer sambandet mellan vinklar och sidor.su30k3m01sv

Sinusfunktionen: Genom Sinus funktionen kan man få fram storleken på en vinkel genom att dividera motstående katet med hypotenusan (sin A = a/c).

Cosinusfunktionen: Med Cosinus kan du på ungefär samma sätt få fram storleken på en vinkel genom att dividera närliggande katet med hypotenusan (cos A = b/c).

Tangensfunktionen: Tangensfunktionen används då man vill få fram en vinkel och vet längden på båda katetrarna. Man får fram den genom att ta motstående katet/närliggande katet (tan A = a/b)

Här följer en lista på alla exakta värden på sinus/cosinus

Matteskit

Genom endast dessa tre formler kan man få fram längden på alla sidor samt storleken på vinklarna i en rätvinklig triangel med endast en av vardera given.

Fortsätt användning och utveckling av trigonometrin gjorde det möjligt för Eratosthenes att beräkna jordens radie redan år 200 f.kr. Han visste att solen stod rakt i zenit (precis ovanför) i staden Assuan. Vid samma tidpunkt kastades en skygga rakt norr om Assuan som visade att solen stod 7,2 grader från zenit i Alexandria. En löpare fick därefter mäta upp avståndet till drygt 800km. 7,2 grader motsvarar 1/50 del av en cirkels omkrets (360/50=7,2) antog han att jordens radie då borde vara 50 gånger större. Med beräkningarna som gjorts fick Erathosthenes fram att jordens omkrets borde ligga på 250 000 stadier som motsvarar 39 360 km. Vi vet idag att omkretsen ligger på ungefär 40 000 km.