Ett talsystem är en följd av olika symboler eller tecken som används för att kunna beteckna ett tal och det är i första hand positiva heltal.

Men hur kom man egentligen på det talsystemet som vi har idag, jo det har ju såklart utvecklats ifrån flera olika håll men grunden för vårt talsystem kommer fortfarande ifrån något som heter det Unära talsystemet. Det bygger på att om man har till exempel tre stenar så motsvara det tre symboler som i ett enkelt fall skulle vara III alltså tre sträck. Det här höll bara i små summor som när man räknar med sina fingrar, men eftersom att det tog lång tid att skriva upp flera sträck eller komma ihåg antal fingrar i huvudet så blev det struligt efter ett tag, men när man räknade på det här sättet så hade man fortfarande inte riktigt förstått hur stort ett tal verkligen kunde bli så det här Unära talsystemet räckte. Men senare kulturer som till exempel Egyptierna kom på att man kunde bestämma nya tal som var mycket större fast talbyggnaden var fortfarande väldigt simpel eftersom om man säger att (#) motsvarar talet hundra och (@) är talet tio och man vill skriva talet 246 så skulle man skriva ##@@@@IIIIII och det gjorde så att man kunde hantera större siffror bättre men det kan fortfarande jobbigt i vissa fall ändå och  många kulturer använde sig av det här systemet men på lång sikt så kan man inte hantera för stora tal, man kunde ju hitta på större siffror men man måste också kunna räkna enkelt mellan dessa siffror så att man kan uppnå dem. Det här insåg man senare och i Asien hade man kommit på att göra ett tecken för varje siffra från 1-9 istället för att skriva dem som sträck eller andra former. Dessa nya siffror kunde man skriva i en följd för att kunna visa ett visst tal som då kunde bli så otroligt mycket större än med tidigare räknesystem genom att bara skriva siffrorna i en bestämd ordning. Detta kallas för ett positionssystem och är grunden för de mer komplexa tal systemen. Nu kunde man komma på flera nya räknesätt bara genom att positionera siffrorna på ett speciellt sätt som tio potenser eller division kunde nu räknas ut lättare. Ett sånt här talsystem blev väldigt användbart för att komma på nya sätt att hantera större uträkningar och det kunde lätt expanderas med nya poisitioneringsmetoder.

Eftersom att talsystemen har utvecklats så mycket som det har så har man fått ett mycket större grepp kring matematik än vad man hade för så länge sedan, tack vare till exempel grekiska filosofer så har man kunnat komma på matematiska formler till rätblock och cirklar och alla möjliga olika former på föremål. Men vad är det som stoppar oss? i framtiden kommer antagligen talsystemen vara så exakta och välformulerade att vi aldrig skulle kunna tänka oss det nu. Vårt talsystem kommer antagligen se primitivt ut om man skulle i framtiden jämföra deras med vårt talsystem.

Redwood är ett träd som växer i vissa delar av U.S.A. De kan bli väldigt höga, så hur skulle man mäta dem? De har alldeles för hård stam för att klättra i och man vill inte hugga ner dem. Att kasta och fästa något i toppen går inte heller, de är för höga.

Ett sätt att lösa problemet var att man:

Stegade en valfri läng från trädet, vi säger 50 m för enkelhetens skull. Helst på så platt mark som möjligt. Sedan använde de en teodolit. En teodolit är ett instrument som mäter vinklar. De ställde ner teodoliten 50 m från trädet och riktade kikarn rakt mot trädets topp och mätte vinkeln till marken. Vi säger att den var 45 grader. De visste också att vinkeln från marken till trädet var 90 grader vilket också ger att den toppvinkeln också var 45 grader. Nu kunde de med hjälp av sinus och cosinus räkna ut hur högt trädet var. Dock hade de ju inte smarta miniräknare som vi har idag på den tiden. Istället hade de tabeller som de räknade på, så de räknade bara med sinus för att bara behöva använda en tabell. Se beräkningar på bilden.

Siffran noll

Siffran noll har använts på många sätt under historiens gång även om den inte har varit använd i just matematik.  Siffran noll ska ha börjat användas i Mesopotamien. Där användes siffran noll i skrifter och dylikt på samma sätt som vi använder ”mellanslag”. Symbolen för noll i Mesopotamien var två sneda kilar.

Nollor användes alltså inte av mesopotamiska matematiker, dock användes nollan i trigonometriska tabeller för astronomiskt bruk.

Majacivilisationen (numera Guatemala, södra Mexiko och norra Honduras) var de nästa som använde nollan. De använde andra symboler för noll. Mayaindianernas talsystem var dock annorlunda på det sättet att det hade oregelbundenheter då mayaindianerna ville följa solåret.

Man tror att nästa kända innovation för siffran noll var i Indien. Det var där noll skrevs som en punkt eller liten cirkel för första gången. Den äldsta inskriptionen med det tecknet är daterad så tidigt som 683 e.Kr. Det är från Indien som västvärlden har fått tecknet vi kallar noll. ”Våran” nolla uppfanns av den Indiske matematikern och astronomen Bahmagupta.

I början av den moderna nollans tid uppfattades inte helt som den gör idag. På den tiden användes den som s.k. platshållare, dvs. den visade hur många av varje sorts tal det fanns i ett tal (ental, tiotal, hundratal, tusental, etc. etc.). T.ex. I talet 1052 visar nollan att det finns noll hundratal. Det medför att man inte tänkte noll som mitten på en axel (med positiva och negativa tal på respektive sida), därför kunde man inte räkna ut tal som innehöll negativa faktorer. T.ex.  2 – 5=(-3)

Jag tycker att siffran noll är en av de bästa uppfinningarna inom matematiken då det har öppnat en helt ny värld med negativa tal.  Siffran noll har indirekt även öppnat dörren för att kunna lösa matematiska problem som inte var möjliga innan noll fanns. På ett sätt är det lite kul att tänka på att noll, som är ingenting, kan betyda så mycket. Det får mig att tänka på vad som kommer hända i framtiden ang. saker som ingen matematiker som någonsin levt kan/någonsin kommer kunna behärska.

Folk hade i början svårt att hantera nollan sägs det. Min teori är det var pga. det stora ansvaret som nollan innebar som gjorde att folket var så emot den. Eftersom man upptäckte en helt ny värld när man upptäckte nollan var man ju tvungen att nyttja allt nytt som nollan tog med sig. Utan nollan hade vi inte bara varit långt ifrån var vi är idag matematiskt utan även på öändligt många områden också eftersom matematiken har en så pass stor inverkan på samhället.

Människan har sedan urminnes tider varit intresserad av olika sorters byggverk. Redan i forntida Egypten och Babylonien fanns detta intresse. Ordet Trigonometri härstammar från grekiskans ”trigonon” (tre vinklar) och ”metron” (mått). Vid bland annat byggen av pyramider kunde den så kallade ”trigonometrin” användas som förklarar förhållandet mellan vinklar och sidor i trianglar. Denna lära har utvecklats och även kommit till användning vid astronomi för att bland annat bestämma längden till stjärnor och annat som är fysiskt omöjligt att mäta. Vanligtvis används denna lära vid rätvinkliga trianglar då man genom att veta en vinkel (ej den rätvinkliga) och längden på en katet eller hypotenusan kunna få fram det mått/den vinkel man söker.

Hur används trigonometri?
Då man vid olika problem vill bestämma en vinkel eller längd används tre olika formler som bestämmer sambandet mellan vinklar och sidor.

Sinusfunktionen: Genom Sinus funktionen kan man få fram storleken på en vinkel genom att dividera motstående katet med hypotenusan (sin A = a/c).

Cosinusfunktionen: Med Cosinus kan du på ungefär samma sätt få fram storleken på en vinkel genom att dividera närliggande katet med hypotenusan (cos A = b/c).

Tangensfunktionen: Tangensfunktionen används då man vill få fram en vinkel och vet längden på båda katetrarna. Man får fram den genom att ta motstående katet/närliggande katet (tan A = a/b)

Här följer en lista på alla exakta värden på sinus/cosinus

Genom endast dessa tre formler kan man få fram längden på alla sidor samt storleken på vinklarna i en rätvinklig triangel med endast en av vardera given.

Fortsätt användning och utveckling av trigonometrin gjorde det möjligt för Eratosthenes att beräkna jordens radie redan år 200 f.kr. Han visste att solen stod rakt i zenit (precis ovanför) i staden Assuan. Vid samma tidpunkt kastades en skygga rakt norr om Assuan som visade att solen stod 7,2 grader från zenit i Alexandria. En löpare fick därefter mäta upp avståndet till drygt 800km. 7,2 grader motsvarar 1/50 del av en cirkels omkrets (360/50=7,2) antog han att jordens radie då borde vara 50 gånger större. Med beräkningarna som gjorts fick Erathosthenes fram att jordens omkrets borde ligga på 250 000 stadier som motsvarar 39 360 km. Vi vet idag att omkretsen ligger på ungefär 40 000 km.

Pi

Pi heter det kända talet som har fascinerat mänskligheten i århundraden. Den är även kallad arkimedes konstant efter Arkimedes som räknade ut pi 250 f.kr.

Pi är talet som representerar förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter.

Det avrundas till detta tal med 15 decimaler 3,141 592 653 589 793.

Men för bara vardagligt bruk brukar man avrunda det till 3,14.

Det är ett irrationellt tal vilket kort fattat betyder att det är ett tal som aldrig slutar. Det bevisades av johann heinrich lambert 1761.

De absolut vanligaste formlerna där pi förekommer är:

Omkretsen och arean av en cirkelel.

O= pi*d=2pi*r

A=pi*r²

Volymen och arean av en sfär.

V=4/3*pi*r³

A=4pi*r²

Volymen och arean av en cylinder.

V=pi*r²*h

A=2(pi*r²)+(2pi*r)h=2pi*r(r+h)

Volymen och arean av en kon.

V=1/3*pi*r²*h

Jakten på pi

Runt 1600 talet började mattematiker att räkna på vilket exakt tal pi var. En av dem första var François Viètes. Som 1593 använde formeln:

Sedan följde en rad olika mattematiker och deras formler för att ta reda på talet. Två stycken relativt kända var:

Gottfried Leibniz’ formel

och John Wallis’ produkt

1706 lyckades John machin räkna ut 100 decimaler av pi med hjälp av denna fomel.

Efter detta bevisade Johann lambert att pi var ett irrationellt tal, jakten på pi övergick från att få fram ett exakt tal till att räkna ut så många decimaler som möjligt.

Och på 1900 talet använde man datorer tillverkade endast för att räkna och lyckades få fram biljoner av decimaler. Dem flesta använde använde olika variationer av Machins formel.

och

Rekordet ligger idag på 1 241 100 000 000 stycken decimaler men jakten på pi är ännu inte över.

Fibonaccital är en talföljd som är upp kallad efter den italienaren Leonardo Fibonacci. I denna talföljd så är varje tal summan av de två tal som kommer innan i sekvensen. De två första talen i sekvensen är o och 1. För att få fram nästa tal så adderar man bara 0 och 1 och får 1 igen. Sedan blir det 1 adderat med 1 vilket blir 2. Sen när man adderar 1 och 2 då får man 3 och sen fortsätter det så, 2+3=5, 3+5=8 och vidare i all oändlighet.

Fibonacci var inte den första som beskrev denna talföljd, den första som gjorde det var den indiska matematikern Pingala 500 år före Kristus.

När Leonardo Fibonacci upptäckte denna tal följd så studerade han hur kaniner förökar sig efter följande regler:

• Det finns endast ett par nyfödda kaniner den första månaden.
• Nyfödda kaniner blir könsmogna från månad två och framåt.
• Det uppstår inga genetiska problem på grund av inavel.
• Varje månad föds en unge per könsmogen kanin.
• Ingen av kaninerna dör.

Men det är inte bara när dessa regler gäller som denna talföljd finns i naturen utan man kan även se den i diverse spiraler. Så som snäckor och fröna i en solros. Saker som följer fibonaccitalen uppfattas väldigt ofta som vackra eftersom om man tar två följande på varandra och dividerar dem med varandra så får man ett tal som är väldigt nära det gyllene snittet (ca. 1,618). Ju högre tal man ta, desto närmare blir värdet det gyllene snittet.

Den svenska flaggan är ett exempel på gyllene snittet då den har proportionerna att kortsidan är 1 och långsidan är 1,618. Ytligare exempel på det gyllene snittet  är Mona-Lisa, troligtvis världs mest omtalade konstverk. Många säger att det är därför den är så vacker. Fibonaccitalen har länge används inom arkitekturens och konstens värld. Man tror att de gamla Egyptierna använde sig av det gyllene snittet när de gjorde de största pyramiderna och att grekerna också använde det till många byggnader.

En Abakus är ett räkneredskap som användes i antiken, romarna använde det för att räkna med sitt talsystem. Nuförtiden är den gjord av en träram där man har stavar i, på stavarna sitter kulor som representerar vissa tal. När man räknar med en Abakus lägger så att stavarna är vertikala och sedan räknar man från höger till vänster. Första raden från höger är ental, andra är tiotal, tredje är hundratal och fjärde är tusental osv. Om man t.ex. ska skriva talet 102 på en Abakus, har man en kula som visar 100 på tredje raden och 2 kulor på första raden.

Så här räknar man addition:

• Vi tar addition med två tal, 21+3.
• Först tar man två kulor på andra raden för att få 20.
• Sedan 1 kula på första raden för att få sammanlagt 21.
• Man lägger sedan till 3 kulor på första raden och då kan man räkna ihop alla kulor och då får man 24

Adderar vi 12 och 9 så tar vi först 1 kula på andra raden och 2 kulor på första raden.

• Sedan lägger man till 9 kulor på första raden men vänta, detta fungerar ju inte!
• Nej, då lägger man först till 8 och får då totalt 20, vilket gör att man har två kulor på andra raden.
• Man har då 1 kula kvar som man lägger på den första raden, talet blir då 21.

Tänk er när man ställer upp addition:

Sättet att lägga till en siffra på nästa ”rad” är likadant som när man räknar med en Abakus.

Ska man räkna med subtraktion gör man på liknande sätt men istället för att lägga till, tar man bort.

Detta är ungefär hur romarna räknade med sin version av Abakus, visst, man använde inte samma siffror som vi men det är likadant som vårat sätt.

Detta är en bild på ungefär hur det såg ut när romarna la upp sina ”kulor” på Abakusen.
M = 1000
D = 500
C = 100
L = 50
X = 10
V = 5
I = 1

Detta var ett effektivt, enkelt och hyfsat snabbt sätt att räkna och på romartiden där inte alla kunde matematik var detta i princip det enda sättet för de att förstå vissa matematiska uträkningar.
En Abakus har dock begränsningar och man kan inte räkna ut allting som man kan göra idag. Man kan t.ex. inte räkna ut något med ett stort antal decimaler eftersom uträkningen är begränsad på hur stor Abakusen är.
Man kan i principen räkna ut med några decimaler, bara man har stavar som representerar decimaltal och inte ental (Vilket man egentligen bara kan göra själv genom att bestämma vilken stav som representerar vilket).
Dock vid svårare matematiska uträkningar blir det inte lika lätt.
Dessa används i nutiden i t.ex. Japan och Kina, där de lär små barn att räkna med sådana här och när de börjar få kläm om att räkna ut flera additioner och subtraktioner i rad, lär de sig att räkna med Abakusen (den japanska versionen heter Soroban och den kinesiska versionen heter Suan Puan) i huvudräkning, vilket gör det ganska effektivt utan att behöva ha den fysiskt i närheten.

Jag tycker att en Abakus är ett bra räkneredskap och som man använder den i Japan och Kina tycker jag är ett bra sätt att börja lära sig räkna addition och subtraktion, att sedan också kunna använda detta effektivt i huvudräkning.
Detta är dock det enda jag tycker är bra med en Abakus, i nutiden så räcker det inte till att använda addition och subtraktion, genom tiderna har mer och mer avancerad matematik uppstått och en Abakus är inte ett räkneredskap som kan användas för t.ex. multiplikation, division, potensräkning, ekvationer med mera.

Jag har nyss fått reda på hur man kan räkna multiplikation och roten ur på Abakusen, detta är dock svårt att förstå och jag låter er andra att titta på det och försöka förstå det om ni vill.
(Dessa två klipp visar hur man räknar multiplikation och roten ur på en Soroban, en japansk version av en Abakus, men detta är dock också möjligt att räkna på en Abakus).

Källor:

http://www.ne.se/lang/abakus/106965
http://sv.wikipedia.org/wiki/Abakus